Grok 4.20 vs 22 года математики: константа Назарова улучшена на 9,1% за две минуты

Профессор математики Калифорнийского университета в Ирвайне Паата Иваниашвили сообщил в X, что Grok 4.20 (Beta) улучшил нижнюю границу гауссова периметра выпуклых множеств — константу, которая не менялась с 2003 года. Модель подняла значение с 0,286 до 0,3126 (рост на 9,1%), более тщательно оптимизировав конструкцию из классической работы Фёдора Назарова. На это ушло две минуты, а решение доступно по этой ссылке.

Задача о максимальном гауссовом периметре выпуклого тела в n-мерном пространстве имеет долгую историю. В 1993 году Кит Болл показал, что периметр растет не быстрее 4n^{1/4}. Назаров в 2003-м доказал, что нижняя граница тоже порядка n^{1/4}, с константой C = exp(−5/4) ≈ 0,286 — на примере случайного многогранника, полученного пересечением случайных полупространств. Он же улучшил верхнюю оценку до 0,64, а в 2019 году Мартин Раич довел ее до 0,59. Нижняя граница Назарова до сих пор оставалась лучшей.

Контекст делает результат особенно любопытным. Буквально недавно Шивам Надимпалли и Калеб Паскаль выложили препринт, в котором другим методом воспроизвели ту же константу 0,286 — но не улучшили ее. А Grok, работая в рамках оригинальной техники Назарова, нашел более выгодные параметры. Сам Grok при этом заявил, что его улучшение следует аргументу Назарова "строчка за строчкой", однако другие модели, которых Иваниашвили попросил это проверить, сочли формулировку преувеличением.

Иваниашвили подчеркивает, что Назаров вряд ли "пропустил" это улучшение — скорее сознательно пожертвовал оптимальной константой ради алгебраической элегантности. Это уже второй математический результат профессора с Grok 4.20: в январе ранняя версия модели за пять минут нашла новую функцию Бельмана для задачи о квадратичных функциях, дав точную оценку там, где у авторов была лишь нижняя граница.

Практическая значимость результата выходит за рамки чистой математики: контроль гауссова периметра позволяет оценивать хвосты Фурье характеристических функций выпуклых множеств, а это напрямую влияет на сложность алгоритмов PAC-обучения и агностического обучения для таких семейств — связь, показанная в работе Кливанса, О'Доннелла и Серведио.

P.S. Поддержать меня можно подпиской на канал "сбежавшая нейросеть", где я рассказываю про ИИ с творческой стороны.